Ο Άμπελ γεννήθηκε στο Νέντστραντ (Nedstrand), κοντά στο Φίνεϊ (Finnøy). Ο πατέρας του, Σέρεν Γκέοργκ Άμπελ (Søren Georg Abel), ήταν θεολόγος και φιλόσοφος, ενώ ο παππούς του ήταν Προτεστάντης πάστορας στο Γκιέρσταντ (Gjerstad), κοντά στο Ρίζερ (Risør). Μετά τον θάνατο του παππού, ο πατέρας του διορίσθηκε πάστορας στο Γκιέρσταντ. Η μακρά οικονομική κρίση στη Νορβηγία επηρέασε την οικογένεια όταν ο Νιλς Χένρικ ήταν δεκατριών ετών. Το 1815 εισάχθηκε στο θρησκευτικό σχολείο (katedralskole) της Χριστιανίας. Αρχικώς δεν έδειχνε ενδιαφέρον γιατί αισθανόταν απογοήτευση από το σχολείο, αλλά όλα άλλαξαν όταν, το 1817, ένας νέος καθηγητής των Μαθηματικών, ο Μπερντ Μίχαελ Χόλμποε (Bernt Michael Holmboe), διέκρινε το ταλέντο του Άμπελ στα Μαθηματικά και τον ενθάρρυνε να τα σπουδάσει σε πανεπιστημιακό επίπεδο. Το 1820 όμως πέθανε ο πατέρας του Νιλς και η οικογένειά του έμεινε άπορη. Ο Χόλμποε τον υποστήριξε με υποτροφία για να μη διακόψει το σχολείο, αλλά και έπεισε τους φίλους του να δώσουν χρήματα για να μπορέσει ο Νιλς να φοιτήσει στο πανεπιστήμιο. Πράγματι, ο Αμπελ μπήκε στο «Βασιλικό Φρειδερίκειο Πανεπιστήμιο» — το σημερινό Πανεπιστήμιο του Όσλο — το 1821 και πήρε πτυχίο το 1822.
Το έργο του
Αφού επέστρεψε από μία επίσκεψη στον Φέρντιναντ Ντέγκεν και άλλους μαθηματικούς στην Κοπεγχάγη, ο Άμπελ έκανε αίτηση για οικονομική υποστήριξη ώστε να μπορέσει να επισκεφθεί κορυφαίους μαθηματικούς στη Γερμανία και στη Γαλλία. Αντί γι' αυτό, του δόθηκαν πόροι για να μείνει στην πρωτεύουσα της Νορβηγίας για δύο χρόνια, στα οποία έμαθε τη γερμανική και τη γαλλική γλώσσα, ενώ ταυτόχρονα συνέγραψε και δημοσίευσε (1824) το πρώτο του αξιόλογο έργο, με τίτλο Mémoire sur les équations algébriques ou on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré («Υπόμνημα επί των αλγεβρικών εξισώσεων, όπου αποδεικνύεται το αδύνατο της επιλύσεως της γενικής εξισώσεως του πέμπτου βαθμού»). Ενώ οι άλλοι ρωτούσαν «ποια είναι η λύση», ο Άμπελ ρώτησε «υπάρχει λύση;» και απέδειξε την αρνητική απάντηση το 1823 (Θεώρημα Abel–Ruffini). Το έργο ήταν δυσνόητο και δυσανάγνωστο, επειδή και ο αριθμός των σελίδων του περιορίσθηκε πολύ προκειμένου να πέσει το κόστος εκτύπωσης. Μια πιο λεπτομερής απόδειξη δημοσιεύθηκε το 1826 στον πρώτο τόμο του «Περιοδικού του Κρέλε» (Crelle's Journal).
Το 1825 δόθηκε στον Άμπελ μια κρατική υποτροφία που του επέτρεψε να ταξιδέψει στο εξωτερικό. Τότε πήγε πρώτα στη Γερμανία, όπου επισκέφθηκε τον αστρονόμο Χάινριχ Κρίστιαν Σουμάχερ στην Αλτόνα, σήμερα προάστιο του Αμβούργου. Παρέμεινε επίσης έξι μήνες στο Βερολίνο, όπου γνωρίσθηκε καλά με τον Άουγκουστ Λέοπολντ Κρέλε, που τότε ετοιμαζόταν να ξεκινήσει να εκδίδει το ομώνυμο μαθηματικό περιοδικό του. Ο Άμπελ ενθάρρυνε πολύ το εγχείρημα και συνεισέφερε σημαντικά στην επιτυχία του. Από το Βερολίνο πήγε κατόπιν στο Φράιμπουργκ, όπου πραγματοποίησε τις μεγαλοφυείς του έρευνες στη θεωρία των συναρτήσεων: ελλειπτικές συναρτήσεις, υπερελλειπτικές συναρτήσεις και μία νέα τάξη, γνωστή σήμερα ως αβελιανές συναρτήσεις μελετήθηκαν ιδιαίτερα.
Ο Νιλς Χένρικ Άμπελ και η υπογραφή του
Το 1826 ο Άμπελ πήγε στο Παρίσι, όπου έμεινε δέκα μήνες και συνάντησε κορυφαίους Γάλλους μαθηματικούς. Αλλά ο ίδιος δεν εκτιμήθηκε όσο του άξιζε, καθώς το έργο του ήταν ελάχιστα γνωστό και η μετριοφροσύνη του τον εμπόδιζε να διατυμπανίζει τις έρευνές του. Οι οικονομικές δυσκολίες, που δεν τον εγκατέλειψαν ποτέ στη ζωή του, τον υποχρέωσαν τελικώς να διακόψει τη διαμονή του στο εξωτερικό και να επιστρέψει στη Νορβηγία, όπου δίδαξε για λίγο στο Βασιλικό Φρειδερίκειο Πανεπιστήμιο.
Το τέλος του και η κληρονομιά του
Κατά τη διάρκεια της παραμονής του στο Παρίσι, ο Άμπελ είχε κολλήσει φυματίωση. Για τα Χριστούγεννα του 1828, ταξίδεψε με έλκηθρο για να επισκεφθεί τη μνηστή του στο Φρόλαντ. Η κατάσταση της υγείας του επιδεινώθηκε σοβαρά στο ταξίδι αυτό, και παρά μία βελτίωση που τους επέτρεψε να χαρούν τα Χριστούγεννα, σύντομα αρρώστησε πολύ βαριά. Ο Κρέλε στο μεταξύ αναζητούσε μια θέση εργασίας για τον Αμπελ στο Βερολίνο. Κατάφερε να βρει μια θέση καθηγητή πανεπιστημίου και έγραψε ένα γράμμα στον Άμπελ στις 8 Απριλίου 1829 για να του πει τα καλά νέα. Αλλά ήταν πολύ αργά: ο Άμπελ είχε πεθάνει στο Φρόλαντ δύο ημέρες νωρίτερα.
Ο πρόωρος θάνατος αυτού του ταλαντούχου μαθηματικού, για τον οποίο ο Λεζάντρ είχε πει «τι κεφάλι έχει αυτός ο νεαρός Νορβηγός!» (quelle tête celle du jeune Norvégien!), διέκοψε μια πολλά υποσχόμενη σταδιοδρομία. Με τον Άμπελ τα κυρίαρχα σκοτεινά σημεία στην Ανάλυση άρχισαν να ξεκαθαρίζουν και νέα πεδία άνοιξαν στη μαθηματική έρευνα. Τα έργα του, τα περισσότερα από τα οποία πρωτοεμφανίσθηκαν στο περιοδικό του Κρέλε, τα επιμελήθηκε ο Χόλμποε και τα εξέδωσε το 1839 η νορβηγική κυβέρνηση. Μια πληρέστερη έκδοση από τους Λούντβιχ Σίλοου (Ludwig Sylow) και Σόφους Λι έγινε το 1881. Το επίθετο "abelian", που προέρχεται από το όνομά του, καθιερώθηκε τόσο στη μαθηματική καθομιλουμένη, ώστε όχι μόνο εξελληνίσθηκε σε αβελιανός - αβελιανή - αβελιανό, αλλά και γράφεται διεθνώς με μικρό αρχικό «α».
Στις 6 Απριλίου 1929, τέσσερα νορβηγικά γραμματόσημα εκδόθηκαν για τα εκατό χρόνια από τον θάνατό του. Η προσωπογραφία του εμφανίζεται στο τραπεζογραμμάτιο (χαρτονόμισμα) των 500 κρόνερ (version V) που εκδόθηκε στα έτη 1978–1985. Στις 5 Ιουνίου 2002, άλλα τέσσερα νορβηγικά γραμματόσημα εκδόθηκαν για τα διακόσια χρόνια από τη γέννησή του. Υπάρχει ένα άγαλμα του Άμπελ στο Όσλο και ένα ομώνυμο βραβείο θεσμοθετήθηκε το 2002 προς τιμή του.
Πήραν το όνομά του
αβελιανή συνάρτηση
αβελιανή ομάδα
Θεώρημα του Άμπελ
αβελιανή κατηγορία
αβελιανή πολλαπλότητα
αβελιανός μετασχηματισμός
Ταυτότητα του Άμπελ
Ανισότητα του Άμπελ
Εξίσωση Άμπελ
Ο μεγάλος κρατήρας Άμπελ στο νότιο ημισφαίριο της Σελήνης
Το Βραβείο Άμπελ
http://el.wikipedia.org/
